Kurzfassung
Diese Arbeit umfasst mehrere theoretische Studien zu neutralen Atomen und Ionen, deren Bewegung eingeschränkt ist auf gekrümmte quasi-eindimensionale räumliche Strukturen.
Nach einer allgemeinen Einführung wird im ersten Teil die Quantendynamik eines Teilchens in einem gekrümmten Wellenleiterpotential analysiert,
insbesondere die Kopplung longitudinaler und transversaler Freiheitsgerade durch Krümmung oder variierenden Querschnitt des Wellenleiters.
Eine allgemeine Zerlegung in lokale transversale Moden wird durchgeführt und zeigt explizit alle nichtadiabatischen Kopplungsmatrixelemente.
Die Struktur der resultierenden Gleichungen wird detailliert untersucht, und systematische Näherungen für stark einschnürende Potentiale werden erarbeitet. Ein umfassender Vergleich zum konzeptionell ähnlichen Born-Oppenheimer-Zugang zu Molekülen zeigt, wie die gekrümmte Wellenleitergeometrie zu einer natürlichen Erweiterung der sich ergebenen Eichstruktur und des damit verbundenen Begriffs der diabatischen Basis führt.
Der zweite Teil der Arbeit widmet sich den Effekten des Quantentunnelns durch den umgebenden Raum, welches effektiv den räumlichen Zusammenhang der eindimensionalen Struktur erhöhen kann, auf die das Teilchen eingeschränkt ist. Dies wird untersucht im Rahmen von Gittermodellsystemen, speziell solchen in Helixform, was zu translationsinvarianten diskreten Schrödingergleichungen mit langreichweitigen Tunnelkopplungen führt,
die nicht wie üblich mit wachsender Indexdifferenz monoton abnehmen.
Die entsprechende Bewegungsgleichung unter Wirkung einer konstanten Kraft wird analytisch gelöst, was ein detailliertes Verständnis der modifizierten Blochoszillationen ermöglicht.
Streuung von einem lokalisierten Potentialdefekt wird in einem Zickzackgitter, mit Kopplung zum ersten und zweiten Nachbarplatz, untersucht. Eine ausgeprägte Fano-Feshbach-Resonanz und typische Wellenpaketsfragmentierungen bei höheren Energien werden identifiziert, die aus einer Deformation der Bandstruktur auf Grund der erweiterten Tunnelkopplung resultieren.
Lokalisierte Moden in einer nichtlinearen diskreten Schrödingergleichung mit helixartig erweiterter Tunnelkopplung, die die interatomare Kontaktwechselwirkung im Rahmen der bosonischen {/it mean field}-Theorie berücksichtigt, werden untersucht. Ein enger Zusammenhang zwischen einer Kaskadenstruktur in der Modulationsinstabilität ebener Wellen und
den Stabilitätseigenschaften lokalisierter Moden wird etabliert, der analytische Näherungen für deren Destabilisierungsparameter erlaubt.
Für viele Gitterplätze pro Windung nähert sich das Helixgitter lokal einer zweidimensionalen Struktur an und es wird analysiert, wie sich
dies in den Eigenschaften der lokalisierten Lösungen niederschlägt.
Der dritten Teil der Arbeit behandelt klassische Ionen auf eindimensionalen Helixkurven, deren langreichweitige Coulombabstoßung durch den
umgebenden Raum wirkt. Die geometrische Einschränkung führt typischerweise zur Existenz metastabiler gebundener Zweiteilchenzustände. Es wird gezeigt, dass jede andere Geometrie als die der homogenen Helix zu einer Kopplung von Schwerpunkt- und Relativbewegung führt. Die Konsequenzen daraus werden analysiert im Zweikörperproblem auf einer Helix mit lokal deformiertem Radius. Dieser geometrische Defekt kann zur Dissoziierung eines gestreuten gebundenen Paares führen oder auch den Schwerpunkt der Ionen in seiner Umgebung binden.
Wir untersuchen die Oszillationen eines ionischen Kristalls auf einer zu einem Ring geschlossenen Helix. Eine symmetriebrechende Bifurkation des Grundzustands wird identifiziert, die geometrisch getrieben wird durch eine Vergrößerung des Helixradius. Bei einer spezifischen Geometrie ist das Linearisierungsspektrum des symmetrischen Kristalls fast völlig entartet,
so dass die Schwingungen einzelner Ionen effektiv voneinander entkoppeln.
Die nichtlinearen Korrekturen können zur spontanen Fokussierung von Vibrationen führen, was sich im Rahmen eines reduzierten Modells verstehen lässt.
Schließlich werden die Ergebnisse rekapituliert und zukünftige Perspektiven diskutiert.
This thesis comprises a number of theoretical studies on neutral atoms and ions constrained to move along curved quasi-one-dimensional spatial structures. Following a general introduction, the quantum dynamics of a particle under the influence of a curved waveguiding potential is analyzed in the first part, with a focus on the coupling of longitudinal and transverse degrees of freedom caused by the curvature or spatially varying cross-section shape of the waveguide. A general decomposition into the local transverse modes is performed, giving access to all nonadiabatic coupling matrix elements. The structure of the resulting set of equations is analyzed in detail, and systematic approximation schemes for tight confining potentials are worked out. A comprehensive comparison to the conceptually similar Born-Oppenheimer treatment of the molecular problem is provided, where it is shown how the curved waveguide geometry leads to a natural extension of the emerging gauge structure and the associated notion of a diabatic basis. The second part of the thesis is devoted to the effects of single-particle quantum tunneling through the ambient space, which may effectively increase the connectivity of the quasi-one-dimensional constraint structure. This is explored in the framework of tight-binding lattice systems, primarily in such of helix shape which results in translationally invariant discrete Schrödinger models with long-range hopping terms that do not show the usual monotonic decay with increasing inter-site index difference. In the presence of a constant force, the resulting equation of motion is solved analytically, admitting a detailed understanding of the modified Bloch oscillation dynamics. Scattering from a localized potential defect is studied in a zigzag lattice with hopping to the first and second neighbor sites, identifying a pronounced Fano-Feshbach resonance and generic high-energy wave-packet splitting dynamics resulting from a deformation of the band structure due to the second-neighbor hopping. Accounting for inter-particle contact interaction on a bosonic mean-field level, self-localized excitations in a nonlinear discrete Schrödinger equation with helix-type extended hopping are explored. A close connection between unusual cascading features in the plane-wave modulational instability diagrams and the stability features of the localized modes is pointed to, which admits approximate analytical predictions for their destabilization parameters. With many sites per helix winding, the lattice locally approaches a two-dimensional rectangular pattern, and it is analyzed how this effective dimensional crossover is reflected by the properties of the nonlinear localized excitations. The third part of the thesis deals with classical ions constrained to move on one-dimensional helix curves and interacting via long-range Coulomb repulsion through the ambient space. The constraint geometry generically leads to the existence of metastable two-body bound states. It is shown that any constraint geometry that is not a perfect homogeneous helix induces coupling between the center-of-mass and relative degrees of freedom. The resulting features are analyzed in the two-ion problem on a helix with a locally modified radius, where this geometric defect can cause an initially bound pair scattered from it to dissociate or induce the formation of overall, center-of-mass and relative, bound states in its vicinity. Closing the helix into a torus-like ring shape, the near-equilibrium dynamics of many-ion systems is studied. Specifically, a symmetry-breaking structural transition in the crystalline ground state configuration is identified that is geometrically driven by an increase of the helix radius. At a certain geometry, the symmetric crystal is found to feature an almost perfectly degenerate linearization spectrum, giving rise to flat-band effects such as the decoupling of localized vibrational excitations. Beyond this, the nonlinear corrections may induce vibrational self-focusing, which can be understood from a reduced model. Finally, the findings are summarized and an outlook on future research perspectives is given.